Question

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）如图建系，设椭圆方程为，则c=1，
又∵，即，
∴a²=2，
故椭圆方程为。
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则设，
∵M（0，1），F（1，0），故，
于是，设直线l为 y=x+m，
由，得，
∵，
又，
得，
即，
由韦达定理，得，
解得：或m=1（舍），
经检验符合条件。