Question

如图所示，已知圆C：，顶点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N轨迹为曲线E。

（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求λ的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵，
∴P为AM的中点，
又，
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|，
又，
∴，
∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距2c=2，∴，
∴曲线E的方程为。
（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y=kx+2，
代入椭圆方程得，
由△＞0，得，
设，则，
又，，
∴，∴，
∴，
即，整理，得，
，
∴，∴，解得：，
，∴，
又当直线GH斜率不存在，方程为，
∴，
即所求λ的取值范围是。