观察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4 , |x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12 ….则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．

在平面几何里可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________ .

在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．

 观察下列各式：a＋b＝1；a²＋b²＝3；a³＋b³＝4；a⁴＋b⁴＝7；a⁵＋b⁵＝11；…；则a¹⁰＋b¹⁰＝________．

 观察下列不等式：

…；照此规律，第五个不等式是________．

设数列满足a₁＝0且＝ 1.

(1) 求的通项公式；

(2) 设b_n＝，记S_n＝b_k，证明：S_n<1.

设同时满足条件：①≤b_n＋1(n∈N^*)；②b_n≤M(n∈N^*，M是与n无关的常数)的无穷数列{b_n}叫“特界” 数列．

(1) 若数列{a_n}为等差数列，S_n是其前n项和，a₃＝4，S₃＝18，求S_n；

(2) 判断(1)中的数列{S_n}是否为“特界” 数列，并说明理由．

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P为椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．