某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：

一次购物款（单位：元）	[0，50）	[50，100）	[100，150）	[150，200）	[200，+∞）
顾客人数	m	20	30	n	10

统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%．据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）．（注：视频率为概率）
（Ⅰ）试确定m，n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；
（Ⅱ）现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的顶点为A（0，5），离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线y=-4交椭圆E于点B，C两点（点B在点C的左侧），点D在椭圆上，且满足

BD

=m

BA

+n

BC

（m，n为实数），求m+n的最大值以及对应点D的坐标．

函数f（x）=sinx．
（Ⅰ）令f1(x)=f′(x)，fn+1(x)=

f

′ n

(x)，(n∈N*)，求f₂₀₁₄（x）的解析式； 
（Ⅱ）若f（x）+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：f(

π

2n+1

)+f(

2π

2n+1

)+…+f(

(n+1)π

2n+1

)≥

3 2 (n+1)

4(2n+1)

．

已知命题“若点M（x₀，y₀）是圆x²+y²=r²上一点，则过点M的圆的切线方程为x₀x+y₀y=r²”．
（Ⅰ）根据上述命题类比：“若点M（x₀，y₀）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，则过点M的切线方程为”（写出直线的方程，不必证明）．
（Ⅱ）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），且经过点（1，

3

2

）．
（i）求椭圆C的方程；
（ii）过F₁的直线l交椭圆C于A、B两点，过点A、B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．

在平面直角坐标系xoy中，已知F₁，F₂分别是椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆G与抛物线y²=-4x有一个公共的焦点，且过点（-

6

2

，1）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆G在第一象限上的任一点，连接PF₁，PF₂，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆G有且只有一个公共点，设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，试证明

1

kk1

+

1

kk2

为定值，并求出这个定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，作F₂Q⊥F₂P，设F₂Q交l于点Q，证明：当点P在椭圆上移动时，点Q在某定直线上．

设定圆M：(x+

3

)2+y2=16，动圆N过点F(

3

，0)且与圆M相切，记动圆N圆心N的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）已知A（-2，0），过定点B（1，0）的动直线l交轨迹C于P、Q两点，△APQ的外心为N．若直线l的斜率为k₁，直线ON的斜率为k₂，求证：k₁•k₂为定值．

已知点A，B，C是抛物线L：y²=2px（p＞0）上的不同的三点，O为坐标原点，直线OA∥BC，且抛物线L的准线方程为x=-1．
（1）求抛物线L的方程；
（2）若△ABC的重心在直线x=-1上，求△ABC的面积取值范围．

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，点A为抛物线上的一点，其纵坐标为1，|AF|=

5

4

．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设B，C为抛物线上不同于A的两点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作抛物线的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．

已知动圆C过定点M（0，2），且在x轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C方程；
（Ⅱ）点A为直线l：x-y-2=0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P、Q，△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．

已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

4

=1（a＞0）的中心为原点O，左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

3 5

5

，点P是直线x=

a2

3

上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足

PF2

•

QF2

=0．
（1）求实数a的值；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足

|PM|

|PN|

=

|MH|

|HN|

，证明点H恒在一条定直线上．