Question

已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

4

=1（a＞0）的中心为原点O，左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

3 5

5

，点P是直线x=

a2

3

上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足

PF2

•

QF2

=0．
（1）求实数a的值；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足

|PM|

|PN|

=

|MH|

|HN|

，证明点H恒在一条定直线上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,直线的斜率

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设双曲线E的半焦距为c，根据离心率为

3 5

5

，双曲线方程，即可求实数a的值；
（2）设点P(

5

3

 ，t)，Q（x₀，y₀），根据

PF2

•

QF2

=0，点Q（x₀，y₀）在双曲线E上，可得y02=

4

5

(

x

2 0

-5)，表示出直线PQ与直线OQ的斜率之积，化简可得结论；
（3）设点H（x，y），且过点P(

5

3

 ，1)的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则4x12-5y12=20，4x22-5y22=20，即y12=

4

5

(x12-5)，y22=

4

5

(x22-5)，设

|PM|

|PN|

=

|MH|

|HN|

=λ，求出坐标之间的关系，化简可得点H恒在定直线4x-3y-12=0上．

解答： （1）解：设双曲线E的半焦距为c，
由题意可得

c a = 3 5 5 c2=a2+4.

，解得a=

5

．
（2）证明：由（1）可知，直线x=

a2

3

=

5

3

，点F₂（3，0）．
设点P(

5

3

 ，t)，Q（x₀，y₀），
因为

PF2

•

QF2

=0，所以(3-

5

3

，-t)•(3-x0，-y0)=0，
所以ty0=

4

3

(x0-3)．
因为点Q（x₀，y₀）在双曲线E上，所以

x02

5

-

y02

4

=1，即y02=

4

5

(

x

2 0

-5)．
所以kPQ•kOQ=

y0-t

x0- 5 3

•

y0

x0

=

y 2 0 -ty0

x 2 0 - 5 3 x0

=

4 5 ( x 2 0 -5)- 4 3 (x0-3)

x02- 5 3 x0

=

4

5

．
所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值

4

5

．
（3）证明：设点H（x，y），且过点P(

5

3

 ，1)的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则4x12-5y12=20，4x22-5y22=20，即y12=

4

5

(x12-5)，y22=

4

5

(x22-5)．
设

|PM|

|PN|

=

|MH|

|HN|

=λ，则

PM =λ PN   MH =λ HN .

．
即

(x1- 5 3  ，y1-1)=λ(x2- 5 3  ，y2-1)  (x-x1 ，y-y1)=λ(x2-x ，y2-y).

整理，得

x1-λx2= 5 3  (1-λ)，① y1-λy2=1-λ，② x1+λx2=x(1+λ) ，③  y1+λy2=y(1+λ)．，④

由①×③，②×④得

x12-λ2x22= 5 3 (1-λ2)x ，⑤ y12-λ2y22=(1-λ2)y．，⑥

将y12=

4

5

(x12-5)，y22=

4

5

(x22-5)代入⑥，
得y=

4

5

×

x12-λ2x22

1-λ2

-4．                         ⑦
将⑤代入⑦，得y=

4

3

x-4．
所以点H恒在定直线4x-3y-12=0上．

点评：本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．