Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的顶点为A（0，5），离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线y=-4交椭圆E于点B，C两点（点B在点C的左侧），点D在椭圆上，且满足

BD

=m

BA

+n

BC

（m，n为实数），求m+n的最大值以及对应点D的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据顶点为A（0，5），离心率为

3

2

，求出几何量，尽快求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P（x，y），根据

BD

=m

BA

+n

BC

（m，n为实数），可得x=6m+12n-6，y=9m+8n-4，进而可得m+n，利用三角换元，可求m+n的最大值以及对应点D的坐标．

解答： 解：（I）由题意得：在椭圆E中，b=5，且e=

c

a

=

1- b2 a2

=

3

2

，a²=b²+c²，
∴a²=100，
∴椭圆E的方程为：

x2

100

+

y2

25

=1…（4分）
（II）将y=-4代入椭圆方程

x2

100

+

y2

25

=1中得x²=36，∴x=±6，
∵B点在C点左侧，∴B（-6，-4），C（6，-4）．
∵A（0，5），∴

BA

=(6，9)，

BC

=（12，0），
设D点（x，y），则

BD

=(x+6，y+4)
∵

BD

=m

BA

+n

BC

，即x+6=6m+12n，y+4=9m，
整理可得m=

y+4

9

，n=

3x-2y+10

36

…（7分）
∴m+n=

3x+2y+26

36

；
令t=3x+2y，与椭圆方程，消去y整理方程得：满足△≥0，则t≤10

10

；…（10分）
∴m+n的最大值为

10 10 +26

36

=

5 10 +13

18

，即3x+2y=10

10

时满足…（11分）
而

10 10 =3x+2y x2 100 + y2 25 =1

⇒

x=3 10 y= 10 2

，
∴D(3

10

，

10

2

)…（13分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是确定坐标之间的关系，属于中档题．