Question

已知命题“若点M（x₀，y₀）是圆x²+y²=r²上一点，则过点M的圆的切线方程为x₀x+y₀y=r²”．
（Ⅰ）根据上述命题类比：“若点M（x₀，y₀）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，则过点M的切线方程为

 

”（写出直线的方程，不必证明）．
（Ⅱ）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），且经过点（1，

3

2

）．
（i）求椭圆C的方程；
（ii）过F₁的直线l交椭圆C于A、B两点，过点A、B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）仿照圆的切线方程进行类比，能求出过椭圆上一点的切线方程．
（Ⅱ）（ⅰ）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，把点（1，

3

2

）代入，能求出椭圆方程．
（ⅱ）分别求出椭圆在点A、B处的切线方程，联立方程组能求出交点的轨迹方程．

解答： 解：（Ⅰ）

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．（3分）
（Ⅱ）（ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点F₁（-1，0），
∴设椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，
∵椭圆经过点（1，

3

2

），
∴

1

a2

+

9

4a2-4

=1，
整理，得4a⁴-17a²+4=0，
解得a²=4，或a²=

1

4

，
∴椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．（7分）
（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设为k，直线l的方程为y=k（x+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则椭圆在点A处的切线方程为：

x1x

4

+

y1y

3

=1，①
椭圆在点B的切线方程为：

x2x

4

+

y2y

3

=1，②
联立方程①②得：x=

4(y2-y1)

x1y2-x2y1

=

4k(x2-x1)

x1k(x2-1)-x2k(x1+1)

=-4，
即此时交点的轨迹方程：x=4．（11分）
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，
此时A（-1，

3

2

），B（-1，-

3

2

），经过AB两点的切线交点为（-4，0）．
综上所述，切线的交点的轨迹方程为：x=-4．（13分）

点评：本题考查切线方程的求法，考查椭圆方程的求法，考查交点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意计算能力、推理论证能力的培养．