题目内容
已知点A，B，C是抛物线L：y2=2px（p＞0）上的不同的三点，O为坐标原点，直线OA∥BC，且抛物线L的准线方程为x=-1．（1）求抛物线L的方程；
（2）若△ABC的重心在直线x=-1上，求△ABC的面积取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）利用抛物线L的准线方程，能求出抛物线L的方程．
（Ⅱ）设直线OA，BC的方程分别为y=kx与y=kx+b，分别与抛物线联立，求出A点坐标，设B（x1，y1），C（x2，y2），再利用韦达定理和导数知识能求了△ABC的面积的取值范围．
（Ⅱ）设直线OA，BC的方程分别为y=kx与y=kx+b，分别与抛物线联立，求出A点坐标，设B（x1，y1），C（x2，y2），再利用韦达定理和导数知识能求了△ABC的面积的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）∵抛物线L：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=-1，
∴
=1，解得p=2，
∴抛物线L的方程为y2=4x．
（Ⅱ）设直线OA，BC的方程分别为
y=kx与y=kx+b，（k≠0），
由
，消去y，得k2x2=4x，
解得A点坐标为A（
，
），
设B（x1，y1），C（x2，y2），
由
消去x，得k2x2+（2kb-4）x+b2=0，
△=（2kb-4）2-4k2b2=16-16kb＞0，即kb＜1，
又由韦达定理得x1+x2=
，
∴△ABC的重心的横坐标为
=
=2，
化简得b=
，代入kb＜1，得k2＞1．
又△ABC的面积S=
×(
•
)×
=
=
=2|
-3|
，
令t=
，则S=2
×
，t∈（0，1）
构造函数f（t）=（4t-3）2（1-t），t∈（0，1），
则f′（t）=（4t-3）（11-12t），
∴函数f（t）在（0，
）和（
，1）上单调递减，在（
，
）上单调增，
且f（0）=9，f（
）=
，
∴△ABC的面积的取值范围是（0，6
）．
∴
| p |
| 2 |
∴抛物线L的方程为y2=4x．
（Ⅱ）设直线OA，BC的方程分别为
y=kx与y=kx+b，（k≠0），
由
|
解得A点坐标为A（
| 4 |
| k2 |
| 4 |
| k |
设B（x1，y1），C（x2，y2），
由
|
△=（2kb-4）2-4k2b2=16-16kb＞0，即kb＜1，
又由韦达定理得x1+x2=
| 4-2kb |
| k2 |
∴△ABC的重心的横坐标为
| ||||
| 3 |
| 8-2kb |
| 3k2 |
化简得b=
| 4-3k2 |
| k |
又△ABC的面积S=
| 1 |
| 2 |
| k2+1 |
| ||
| k2 |
| |b| | ||
|
=
|2b|
| ||
| k2 |
| 2|4-3k2| |
| k2|k| |
| 3k2-3 |
=2|
| 4 |
| k2 |
3-
|
令t=
| 1 |
| k2 |
| 3 |
| (4t-3)2(1-t) |
构造函数f（t）=（4t-3）2（1-t），t∈（0，1），
则f′（t）=（4t-3）（11-12t），
∴函数f（t）在（0，
| 3 |
| 4 |
| 11 |
| 12 |
| 3 |
| 4 |
| 11 |
| 12 |
且f（0）=9，f（
| 11 |
| 12 |
| 1 |
| 27 |
∴△ABC的面积的取值范围是（0，6
| 3 |
点评：本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
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