如图，点A，B分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x一2）²十y²=9经过椭圆E的左焦点F₁．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．
（i）求

F1Q

•

BP

的取值范围；
（ii）是否存在定圆r，使得以P为圆心，PF₁为半径的圆始终内切于圆r，若存在，求出圆r的方程；若不存在，说明理由．

如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且AB=

1

3

AC，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°
（1）求AF的长；
（2）求证：AD=3ED．

如图，三棱锥P-ABC中，AB=AC=2

10

，BC=4，PC=2

11

，点P在平面ABC内的射影恰为△ABC的重心G，M为侧棱AP上一动点．
（1）求证：平面PAG⊥平面BCM；
（2）当M为AP的中点时，求直线BM与平面PBC所成角的正弦值．

已知抛物线C：x²=2py（p＞0），定点M（0，5），直线l：y=

p

2

与y轴交于点F，O为原点，若以OM为直径的圆恰好过l与抛物线C的交点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点M作直线交抛物线C于A，B两点，连AF，BF延长交抛物线分别于A′，B′，求证：抛物线C分别过A′，B′两点的切线的交点Q在一条定直线上运动．

设公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}与公比为q（q＞0）的等比数列{b_n}有如下关系：a₁=b₁，a₃=b₃，a₇=b₅．
（Ⅰ）比较a₁₅与b₇的大小关系，并给出证明．
（Ⅱ）是否存在正整数m，n，使得a_n=b_m？若存在，求出m，n之间所满足的关系式；若不存在，请说明理由．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距为3

2

，其中一条渐近线的方程为x-

2

y=0．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆的左顶点，

PG

=2

GO

，求|

GA

|2+|

GB

|2的取值范围；
（Ⅲ）若点P满足|PA|=|PB|，求证

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OP|2

为定值．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心事为

2

2

，过其右焦点F₂作与x轴垂直的直线l与该椭圆交于A、B两点，与抛物线y²=4x交于C、D两点，且

AB

=

2

2

CD

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于G、H两点，设P为椭圆E上一点，且满足

OG

+

OH

=t

OP

（O为坐标原点），当|

OG

-

OH

|＜

8 11

3

时，求实数t的取值范围．

求函数y=（

1

4

）^x+（

1

2

）^x+1的值域．

天府新区的战略定位是以城乡一体化、全面现代化、充分引进国际化为引领，并以现代制造业为主，高端服务业集聚，宜业宜商宜居的国际化现代新城区，为引进优秀厂家，某企业对16家厂家根据地域分为两组，分别由A、B两组评委对各项指标进行综合评比打分，两个组队对16家厂家评比最后综合得分的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，若某厂家总和得分高于16家厂家的平均分则确定为优秀厂家．
（Ⅰ）若在确定为优秀厂家的厂家中随机抽取2家进行复查，求抽取的2家进行复查的分别是A、B组评定出的优秀厂家各1个的概率；
（Ⅱ）若从A、B两组评定出确定为优秀厂家中随机选取3家人户，记选取的3家来自B组评定出的优秀厂家数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

已知点P（2，0）及椭圆C：x²+16y²=16．
（Ⅰ）过点P的直线l₁与椭圆交于M、N两点，且|MN|=

3

，求以线段MN为直径的圆Q的方程；
（Ⅱ）设直线kx-y+1=0与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k，使得过点P的直线l₂垂直平分弦AB？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．