Question

如图，三棱锥P-ABC中，AB=AC=2

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，BC=4，PC=2

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，点P在平面ABC内的射影恰为△ABC的重心G，M为侧棱AP上一动点．
（1）求证：平面PAG⊥平面BCM；
（2）当M为AP的中点时，求直线BM与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）取BC中点D，连接AD、PD，由已知条件推导出PG⊥BC，AG⊥BC，从而得到BC⊥平面PAG，由此能够证明平面PAG⊥平面BCM．
（2）以过G作BC的平行线为x轴，AG为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BM与平面PBC所成角的正弦值．

解答： 解：（1）取BC中点D，连接AD、PD，
∵PG⊥平面ABC，∴PG⊥BC，
等腰△ABC中，G为重心，∴AG⊥BC，
∴BC⊥平面PAG，
∴平面PAG⊥平面BCM．…（6分）
（2）△ABC中，AD=6，∴GD=2，
∵BC⊥平面PAG，∴CD⊥PD，
∴PD=2

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，∴GP=6，
过G作BC的平行线为x轴，AG为y轴，GP为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知B（2，2，0），C（-2，2，0），P（0，0，6），A（0，-4，0），
∴M（0，-2，3），
设直线BM与平面PBC所成角为θ，
设平面PBC的法向量为

n

=（x，y，z），
∵

CB

=(4，0，0)，

PB

=(2，2，-6)，
∴

n • CB =4x=0 n • PB =2x+2y-6=0

，
取y=3，得z=1，∴

n

=(0，3，1)，
∵

BM

=(-2，-4，3)，
∴sinθ=|cos＜

n

，

BM

＞|=

| n • BM |

| n |•| BM |

=

9

290

=

9 290

290

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．