Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心事为

2

2

，过其右焦点F₂作与x轴垂直的直线l与该椭圆交于A、B两点，与抛物线y²=4x交于C、D两点，且

AB

=

2

2

CD

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于G、H两点，设P为椭圆E上一点，且满足

OG

+

OH

=t

OP

（O为坐标原点），当|

OG

-

OH

|＜

8 11

3

时，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题设条件推导出

c a = 2 2 b2 a = 2c a2+b2=c2

，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）设直线GH的方程为x=my+2，联立

x=my+2 x2 32 + y2 16 =1

，得（m²+2）y²+4my-28=0，由此入手能求出实数t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线l过右焦点F₂且于x轴垂直，
∴|AB|=

2b2

a

，|CD|=4

c

，
又∵椭圆E的离心率为

2

2

，且

AB

=

2

2

CD

，
∴

c a = 2 2 b2 a = 2c a2+b2=c2

，解得

a2=32 b2=16

，
∴椭圆E的方程为：

x2

32

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）由题意知直线GH的斜率不为0，设直线GH的方程为x=my+2，
联立

x=my+2 x2 32 + y2 16 =1

，消去x得（m²+2）y²+4my-28=0，
设P（x，y），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
∴y1+y2=-

4m

m2+2

，y1y2=-

28

m2+2

，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+4=

8

m2+2

，
∵

OG

+

OH

=t

OP

，
∴

tx=x1+x2= 8 m2+2 ty=y1+y2=- 4m m2+2

，∴P(

8

t(m2+2)

，-

4m

t(m2+2)

)，
∵P点在椭圆上，∴将P点代入椭圆方程，得t²=

1

m2+2

，
∵|

OG

-

OH

|＜

8 11

3

，
∴|GH|²=（1+m²）（y₁-y₂）²
=（1+m²）[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]
=（1+m²）[（

-4m

m2+2

）²+

4×28

m2+2

]
=

32(1+m2)(4m+7)

(m2+2)2

＜

64×11

9

，
14m⁴+11m²-25＜0，∴0≤m²＜1，
∴t2=

1

m2+2

∈(

1

3

，

1

2

)，
∴t∈[-

2

2

，-

3

3

)∪(

3

3

，

2

2

]．
∴实数t的取值范围是[-

2

2

，-

3

3

)∪(

3

3

，

2

2

]．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，解题时要综合运用直线与圆锥曲线的位置关系，合理地进行等价转化．