题目内容
已知点P（2，0）及椭圆C：x2+16y2=16．
（Ⅰ）过点P的直线l1与椭圆交于M、N两点，且|MN|=
，求以线段MN为直径的圆Q的方程；
（Ⅱ）设直线kx-y+1=0与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k，使得过点P的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）过点P的直线l1与椭圆交于M、N两点，且|MN|=
| 3 |
（Ⅱ）设直线kx-y+1=0与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k，使得过点P的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）由已知条件推导出当|MN|=
时，直线垂直于x轴，此时MN的中点为P，由此能求出圆的方程．
（Ⅱ）联立
，得（16k2+1）x2+32kx=0，解方程得到A（0，1），B（
，
），由此利用
⊥
，求出不存在实数k，使得过点P的直线l2垂直平分弦AB．
| 3 |
（Ⅱ）联立
|
| -32k |
| 16k2+1 |
| -16k2+1 |
| 16k2+1 |
| PM |
| AB |
解答：
解：（Ⅰ）椭圆方程化为
+y2=1，
∵P（2，0）在椭圆内部，∴过P的直线与椭圆总是交于两点M，N，
当|MN|=
时，直线垂直于x轴，此时MN的中点为P，
圆Q的中心为P（2，0），半径为r=
，
∴所求圆的方程为（x-2）2+y2=
．
（Ⅱ）联立
，
消去y，并整理，得（16k2+1）x2+32kx=0，
解得
，或
，
∴A（0，1），B（
，
），
∴AB的中点M（
，
），
∴
=(
，
)，
=（
，
），
∵
⊥
，∴k=0，或32k2+15k+2=0，
∴k=0，
当k=0时，A，B两点重合，这矛盾，
∴不存在实数k，使得过点P的直线l2垂直平分弦AB．
| x2 |
| 16 |
∵P（2，0）在椭圆内部，∴过P的直线与椭圆总是交于两点M，N，
当|MN|=
| 3 |
圆Q的中心为P（2，0），半径为r=
| ||
| 2 |
∴所求圆的方程为（x-2）2+y2=
| 3 |
| 4 |
（Ⅱ）联立
|
消去y，并整理，得（16k2+1）x2+32kx=0，
解得
|
|
∴A（0，1），B（
| -32k |
| 16k2+1 |
| -16k2+1 |
| 16k2+1 |
∴AB的中点M（
| -16k |
| 16k2+1 |
| 1 |
| 16k2+1 |
∴
| PM |
| -32k2-16k-2 |
| 16k2+1 |
| 1 |
| 16k2+1 |
| AB |
| -32k |
| 16k2+1 |
| -32k2 |
| 16k2+1 |
∵
| PM |
| AB |
∴k=0，
当k=0时，A，B两点重合，这矛盾，
∴不存在实数k，使得过点P的直线l2垂直平分弦AB．
点评：本题考查圆的方程的求法，考划满足条件的实数是否存在的判断，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
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