题目内容
如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且AB=| 1 |
| 3 |
（1）求AF的长；
（2）求证：AD=3ED．
考点：与圆有关的比例线段
专题：直线与圆
分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．
（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．
（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．
解答：
（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，
∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴BC=2
，
又∵AB=
AC，∴AB=
BC=
，∴AC=3
，
根据切割线定理得AF2=AB•AC=
×3
=9，即AF=3
（2）证明：过E作EH⊥BC于H，
∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，
∴△EDH∽△ADF，
∴
=
，
又由题意知CH=
BC=
，EB=2，
∴EH=1，∴
=
，
∴AD=3ED．
∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴BC=2
| 3 |
又∵AB=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
根据切割线定理得AF2=AB•AC=
| 3 |
| 3 |
（2）证明：过E作EH⊥BC于H，
∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，
∴△EDH∽△ADF，
∴
| ED |
| AD |
| EH |
| AF |
又由题意知CH=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴EH=1，∴
| ED |
| AD |
| 1 |
| 3 |
∴AD=3ED．
点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．
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| π |
| 12 |
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| ||||
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