已知t=（

1

2

）^x+（

2

3

）^x+（

5

6

）^x，当（t-1）（t-2）（t-3）=0时，求所有实数解的和．

已知函数f（x）=asinx+bx的图象在点(

π

3

，f(

π

3

))处的切线方程为x+2y-

3

+

π

3

=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）当0＜x＜

π

2

时，f（x）＞（m-1）x恒成立，求实数m的取值范围．

如图，以

3

2

为离心率的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A和B，点P是椭圆位于x轴上方的一点，且△PAB的面积最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设点Q是椭圆位于x轴下方的一点，直线AP、BQ的斜率分别为k₁，k₂，若k₁=7k₂，设△BPQ与△APQ的面积分别为S₁，S₂，求S₁-S₂的最大值．

已知F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆于点D，且

BF

=

5

3

FD

．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．

已知函数f（x）=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）若函数在区间（a，a+

1

2

 ）（a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当x≥1时，不等式f（x）＞

2sinx

x+1

恒成立．

某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，…，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，…，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用P（i，j）表示编号为i，j（1≤i＜j≤15）的样品首轮同时被抽到的概率．
（Ⅰ）求P（1，15）的值；
（Ⅱ）求所有的P（i，j）（1≤i＜j≤15）的和．

四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，侧棱PA=PC=2

3

，PB=

10

．M，N两点分别在侧棱PB，PD上，

|PM|

|MB|

=

|PN|

|ND|

=2
（1）求证：PA⊥平面MNC．
（2）求平面NPC与平面MNC的夹角的余弦值．

设点P（-2，1）在抛物线x²=2py（p＞0）上，且到圆C：x²+（y+b）²=1上点的最小距离为1．
（Ⅰ）求p和b的值；
（Ⅱ）过点P作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线交于两点A，B，若直线AB与圆C交于不同两点M，N．
（i）证明直线AB的斜率为定值；
（ii）求△PMN面积取最大值时直线AB的方程．

已知函数f（x）=

x+1

ex

（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+

1

ex

，存在函数x₁，x₂∈[0，1]，使得成立2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，求实数t的取值范围．

已知x+5y≤60，5x+3y≤40，x∈N，y∈N，求Z=200x+150y的最大值．