Question

已知函数f（x）=asinx+bx的图象在点(

π

3

，f(

π

3

))处的切线方程为x+2y-

3

+

π

3

=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）当0＜x＜

π

2

时，f（x）＞（m-1）x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数f'（x）=acosx+b，由题意可得

f′( π 3 )= a 2 +b=- 1 2 f( π 3 )= 3 2 a+ π 3 b= 3 2 - π 3

，解出即可；
（Ⅱ）由（I）知f（x）=sinx-x，当0＜x＜

π

2

时，f（x）＞（m-1）x恒成立等价于m＜

sinx

x

恒成立，记g(x)=

sinx

x

，x∈(0，

π

2

)，则问题进而化为m＜g（x）_min，利用导数可求得g（x）_min；

解答： 解：（I）f'（x）=acosx+b，
由于直线x+2y-

3

+

π

3

=0的斜率为-

1

2

且过点(

π

3

，

3

2

-

π

3

)，
∴

f′( π 3 )= a 2 +b=- 1 2 f( π 3 )= 3 2 a+ π 3 b= 3 2 - π 3

，
解得a=1，b=-1；
（Ⅱ）由（I）知f（x）=sinx-x，
当0＜x＜

π

2

时，f（x）＞（m-1）x恒成立等价于m＜

sinx

x

恒成立，
记g(x)=

sinx

x

，x∈(0，

π

2

)，则g′(x)=

xcosx-sinx

x2

，
记h（x）=xcosx-sinx，则h'（x）=-xsinx＜0，
∴h（x）在区间(0，

π

2

)上单调递减，h（x）＜h（0）=0，
故g'（x）＜0，∴g（x）在区间(0，

π

2

)上单调递减，g(x)＞g(

π

2

)=

2

π

，
∴m≤

2

π

，
实数m的取值范围为(-∞，

2

π

]．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值及函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．