Question

四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，侧棱PA=PC=2

3

，PB=

10

．M，N两点分别在侧棱PB，PD上，

|PM|

|MB|

=

|PN|

|ND|

=2
（1）求证：PA⊥平面MNC．
（2）求平面NPC与平面MNC的夹角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先证明PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，证明

AP

∥

n

，即可得出PA⊥平面MNC．
（2）求出平面NPC与平面MNC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出夹角的余弦值．

解答： （1）证明：设菱形对角线交于点O，则PO⊥AC且|PO|=3
又|PB|=

10

，|OB|=1．
由勾股定理知，PO⊥BD
又∵AC，BD⊆面ABCD，AC∩BD=O，
∴PO⊥平面ABCD…（3分）
建立如图空间直角坐标系，O（0，0，0），P（0，0，3），B（1，0，0），A(0，-

3

，0)，C(0，

3

，0)，D（-1，0，0），M(

2

3

，0，1)，N(-

2

3

，0，1)…（5分）
∵

AP

=(0，

3

，3)，平面MNC的法向量

m

=(0，1，

3

)，
∴

AP

∥

n

，
∴AP⊥平面MNC…（8分）
（2）解：设面NPC的法向量为

n

=(x，y，z)．
∵

NP

=（

2

3

，0，2），

CP

=（0，-

3

，3），
由

n

•

NP

=0，

n

•

CP

=0，可得

2 3 x+2z=0 - 3 y+3z=0

，
取z=1，得

n

=(-3，

3

，1)…（10分）
∴cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

39

13

∴平面NPC与平面MNC的夹角的余弦值为

39

13

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于这道题．