Question

设点P（-2，1）在抛物线x²=2py（p＞0）上，且到圆C：x²+（y+b）²=1上点的最小距离为1．
（Ⅰ）求p和b的值；
（Ⅱ）过点P作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线交于两点A，B，若直线AB与圆C交于不同两点M，N．
（i）证明直线AB的斜率为定值；
（ii）求△PMN面积取最大值时直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由点P（-2，1）在抛物线x²=2py（p＞0）上，能求出p，由已知条件利用两点间距离公式能求出b．
（Ⅱ）（i）设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k，联立

x2=4y y-1=k(x+2)

，推导出A（4k+2，（2k+1）²），B（-4k+2，（-2k+1）²），由此能求出直线AB的斜率．
（ii）设直线AB的方程为y=x+t，联立直线AB与圆C的方程，得2x²+2（t-1）x+t²-2t=0，利用导数知识能求出△PMN面积取最大值时直线AB的方程

解答： （Ⅰ）解：∵点P（-2，1）在抛物线x²=2py（p＞0）上，
∴（-2）²=2p，解得p=2，
∵点P（-2，1）到圆C：x²+（y+b）²=1上点的最小距离为1，
∴

(-2-0)2+(1+b)2

=1+1，解得b=-1．
（Ⅱ）（i）证明：设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k，
∴直线PA的方程为y-1=k（x+2），
联立

x2=4y y-1=k(x+2)

，
整理，得x²-4kx-8k-4=0，
根据韦达定理，有x_A+x_P=4k，
∴x_A=4k+2，∴A（4k+2，（2k+1）²），
同理B（-4k+2，（-2k+1）²），
∴直线AB的斜率为：kAB=

(2k+1)2-(-2k+1)2

4k+2-(-4k+2)

=1．
（ii）设直线AB的方程为y=x+t，则点P到直线AB的距离d=

|t-3|

2

，
联立直线AB与圆C的方程，得

x2+(y-1)2=1 y=x+t

，
整理，得2x²+2（t-1）x+t²-2t=0，
∵AB与圆C交于不同两点M，N，∴1-

2

＜t＜1+

2

，
∵|MN|=

2

•

4(t-1)2-8(t2-2t)

2

=

2

•

-t2+2t+1

，
∴S_△PMN=

1

2

•

|t-3|

2

•

2

•

-t2+2t+1

=

1

2

(t-3)2•(-t2+2t+1

，（1-

2

＜t＜＜1+

2

），
设m=（t-3）²•（-t²+2t+1），
∵m′=2（t-3）•（-t²+2t+1）+（t-3）²•（-2t+2），
由m′=0，解得t=

3- 5

2

，或t=

3+ 5

2

（舍），或t=3（舍），
∴（S_△PMN）_max=

3+ 5

4

•

1+ 5 2

，
此时直线AB的方程为y=x+

3- 5

2

．

点评：本题考查圆锥曲线中参数的求法，考查直线斜率为定理的证明，考查三角形面积最大时直线方程的求法．