Question

某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，…，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，…，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用P（i，j）表示编号为i，j（1≤i＜j≤15）的样品首轮同时被抽到的概率．
（Ⅰ）求P（1，15）的值；
（Ⅱ）求所有的P（i，j）（1≤i＜j≤15）的和．

Answer 1

考点：排列、组合及简单计数问题,收集数据的方法,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由分层抽样的方法从洋奶粉样品中抽取3个，国产奶粉样品中抽取2个，计算出P（1，15）的值；
（Ⅱ）分情况求出1≤i＜j≤9，10≤i＜j≤15和1≤i≤9＜j≤15时，P（i，j）的个数是多少，从而求出它们的和．

解答： 解：（Ⅰ）由分层抽样可知：
首轮检验从编号为1，2，3，…，9的洋品牌奶粉的样品中抽取3个，
从编号为10，11，…，15的国产品牌奶粉的样品中抽取2个，
∴P（1，15）=

C 2 8

C 3 9

•

C 1 5

C 2 6

=

1

9

；
（Ⅱ）①当1≤i＜j≤9时，P（i，j）=

C 1 7

C 3 9

=

1

12

，
而这样的P（i，j）有

C

2 9

=36个；
②当10≤i＜j≤15时，P（i，j）=

1

C 2 6

=

1

15

，
而这样的P（i，j）有

C

2 6

=15个；
③当1≤i≤9＜j≤15时，P（i，j）=

C 2 8

C 3 9

•

C 1 5

C 2 6

=

1

9

，
而这样的P（i，j）有

C

1 9

•

C

1 6

=54个；
所以，所有的P（i，j）（1≤i＜j≤15）的和为

1

12

×36+

1

15

×15+

1

9

×54=10．

点评：本题考查了分层抽样法的应用以及概率与数学期望的问题，解题的关键是理解题中P（i，j）的含义，以及（Ⅱ）中i、j的适当分情况计算问题，是易错题．