Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）若函数在区间（a，a+

1

2

 ）（a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当x≥1时，不等式f（x）＞

2sinx

x+1

恒成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，确定函数f（x）在x=1处取得极大值，根据函数在区间（a，a+

1

2

 ）（a＞0）上存在极值，可得

a＜1 a+ 1 2 ＞1

，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）＞

2sinx

x+1

，等价于

(x+1)(1+lnx)

x

＞2sinx，构造g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），证明g（x）在[1，+∞）上是单调递增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：因为f（x）=

1+lnx

x

（x＞0），则f′（x）=-

lnx

x2

（x＞0），
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0；当x=1时，f′（x）=0．
所以函数f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减；
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数在区间（a，a+

1

2

 ）（a＞0）上存在极值，
所以

a＜1 a+ 1 2 ＞1

，解得

1

2

＜a＜1…（6分）
（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）＞

2sinx

x+1

，等价于

(x+1)(1+lnx)

x

＞2sinx．
记g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1）
所以g′（x）=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-

1

x

，
由x≥1得h′（x）≥0，所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以[h（x）]_min=h（1）=1＞0，
从而g′（x）＞0．
故g（x）在[1，+∞）上是单调递增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，
因为当x≥1时，2sinx≤2，所以g（x）≥2sinx，
又因为当x=1时，2sinx=2sin1＜2，
所以当x≥1时，g（x）＞2sinx，即

(x+1)(1+lnx)

x

＞2sinx，
所以当x≥1时，不等式f（x）＞

2sinx

x+1

恒成立．…（12分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值、最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．