Question

已知t=（

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）^x+（

2

3

）^x+（

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6

）^x，当（t-1）（t-2）（t-3）=0时，求所有实数解的和．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：令f（x）=（

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）^x+（

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）^x+（

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）^x，则f（0）=3，f（1）=2，f（3）=1，若（t-1）（t-2）（t-3）=0，则x=0，或x=1，或x=3，进而得到答案．

解答： 解：令f（x）=（

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）^x+（

2

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）^x+（

5

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）^x，
则f（x）是减函数，
因此对任意正实数t，f（x）=t恰有惟一解，
当（t-1）（t-2）（t-3）=0时，
t=1，或t=2，或t=3，
又∵f（0）=3，f（1）=2，f（3）=1，
即方程（t-1）（t-2）（t-3）=0的所有解为0，1，3，
∴它们的和为4．

点评：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，方程的根，其中分析出f（x）=（

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）^x+（

2

3

）^x+（

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）^x的单调性，进而求出f（0）=3，f（1）=2，f（3）=1，是解答的关键．