已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点为F₁（3，0），设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点，M、N分别为线段AF₁，BF₁的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，请运用椭圆的几何性质证明线段|AB|的长是定值．

如图，如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=．

已知函数f（x）=x²-4ax+2a+12的值域为集合M，集合N={y|y=

x

}，M∩N=M．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求关于x的方程

x

a+2

=|a-1|+2的根的取值范围．

如图所示，已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，A、B为双曲线的两个顶点．
（1）当a=2，b=

3

，直线l：y=x-4与双曲线交于C、D两点，求线段CD的长度；
（2）在x轴上是否存在这样一个定点M（λ，0），过M的直线与双曲线有两个交点C、D，并且无论怎么旋转直线CD（在保证直线和双曲线有两个交点的前提下），始终CA⊥AD．如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1，

3

2

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l的倾斜角为45°时，求|MN|的长．

已知函数f（x）=ax²+x-xlnx，
（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围．

设函数f（x）=ae^x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x²+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．
（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）判断函数F（x）=2f（x）-g（x）+2零点个数．

如图所示，已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），且F₂到直线x-

3

y-9=0的距离等于椭圆的短轴长．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P的圆心为P（0，t）（t＞0），且经过F₁、F₂，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为

3 2

2

时，求t的值．

抛物线C₁：y²=4x的焦点与椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点相同．设椭圆的右顶点为A，C₁，C₂在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为

6

3

a．
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）过A点作直线l交C₁于C，D两点，连接OC，OD分别交C₂于E，F两点，记△OEF，△OCD的面积分别为S₁，S₂．问是否存在上述直线l使得S₂=3S₁，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

6

3

，右焦点F到直线

x

a

+

y

b

=0的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）已知点M，N为椭圆的长轴的两个端点，作不平行于坐标轴的割线AB，若满足∠AFM=∠BFN，求证：割线AB恒经过一定点．