题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1，
3
2
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l的倾斜角为45°时，求|MN|的长．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由已知条件设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
a2-1
=0，把点P（1，
3
2
）代入，能求出椭圆C的方程．
（2）由已知条件推导出直线l的方程为：y=x-1，联立
x2
4
+
y2
3
=1
y=x-1
，得：7x2-8x-8=0，利用椭圆弦长公式能求出|MN|．
解答： 解：（1）∵椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1，
3
2
），
∴设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
a2-1
=0，
把点P（1，
3
2
）代入，得：
1
a2
+
9
4
a2-1
=1，整理，得4a4-17a2+4=0，
解得a2=4，或a2=
1
4
（舍），
∴椭圆C的方程为：
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1的左焦点F1（-1，0），右焦点F2（1，0），
∵过点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的方程为：y=x-1，
联立
x2
4
+
y2
3
=1
y=x-1
，消去y，并整理，得：7x2-8x-8=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
8
7
，x1x2=-
8
7
，
∴|MN|=
(1+1)[(
8
7
)2-4×(-
8
7
)]
=
24
7
．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要注意待定系数法和椭圆弦长公式的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于（　　）
A、100π
B、
100π
3
C、25π
D、
25π
3
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），设左顶点为A，上顶点为B，且
OF
•
FB
=
AB
•
BF
，如图．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），过F的直线l交椭圆于M，N两点，试确定
FM
•
FN
的取值范围．
已知椭圆C的焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），点P（-1，
2
2
）在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若抛物线E：y2=2px（p＞0）与椭圆C相交于点M、N，当△OMN（O是坐标原点）的面积取得最大值时，求P的值．
（3）在（2）的条件下，过点F2作任意直线l与抛物线E相交于点A、B两点，则直线AF1与直线BF1的斜率之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
6
3
，右焦点F到直线
x
a
+
y
b
=0的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）已知点M，N为椭圆的长轴的两个端点，作不平行于坐标轴的割线AB，若满足∠AFM=∠BFN，求证：割线AB恒经过一定点．
已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）设A、B是轨迹C上两个不同的点，且OA⊥OB，证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标．
设直线l1：y=2x与直线l2：x+y=6交于P点．
（1）当直线m过P点且与直线l0：x-2y=0垂直时，求直线m的方程；
（2）当直线m过P点且坐标原点O到直线m的距离为2时，求直线m的方程．
已知动圆P过定点A（-3，0），且与圆B：（x-3）2+y2=64相切，点P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数λ，使
AM
•
AN
=λ
PQ
2总成立，若存在，求λ；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求△MNQ的面积S的最大值．
如图，两条相交线段AB、PQ的四个端点都在椭圆
x2
4
+
y2
3
=1上，其中，直线AB的方程为x=m，直线PQ的方程为y=
1
2
x+n．
（Ⅰ）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；
（Ⅱ）探究：是否存在常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ？

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