Question

抛物线C₁：y²=4x的焦点与椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点相同．设椭圆的右顶点为A，C₁，C₂在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为

6

3

a．
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）过A点作直线l交C₁于C，D两点，连接OC，OD分别交C₂于E，F两点，记△OEF，△OCD的面积分别为S₁，S₂．问是否存在上述直线l使得S₂=3S₁，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件求出a²=1+b²，yB=

6

3

，从而得到B(

2

3

，

2 6

3

)．再由B点在椭圆上，能求出椭圆C₂的标准方程．
（2）设直线l的方程为x=my+2，由

x=my+2 y2=4x

，得y²-4my-8=0，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由已知条件推导出(

S2

S1

)2=

y 2 1 • y 2 2

y 2 E • y 2 F

=

121+48m2

32

，由48m²=-40，得到不存在直线l使得S₂=3S₁．

解答： 解：（1）∵y²=4x，∴焦点F（1，0），
∴c=1，即a²=1+b²…（1分）
又∵S△OAB=

1

2

×|OA|×yB=

6

3

a，∴yB=

2 6

3

…（2分）
代入抛物线方程得B(

2

3

，

2 6

3

)．
又B点在椭圆上，解得b²=3，a²=4，
∴椭圆C₂的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）设直线l的方程为x=my+2，
由

x=my+2 y2=4x

，得y²-4my-8=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8…（6分）
又∵

S2

S1

=

1 2 |OC||OD|sin∠COD

1 2 |OE||OF|sin∠EOF

=

|OC||OD|

|OE||OF|

=|

y1

yE

|×|

y2

yF

|，
直线OC的斜率为

y1

x1

=

4

y1

，
∴直线OC的方程为x=

y1y

4

，
由

x= y1y 4 x2 4 + y2 3 =1

，得

y

2 E

=

3×64

3y12+64

，
同理

y

2 F

=

3×64

3y22+64

，
∴

y

2 E

y

2 F

=(

3×64

3y12+64

)×(

3×64

3y22+64

)=

64×32

121+48m2

，
则(

S2

S1

)2=

y 2 1 • y 2 2

y 2 E • y 2 F

=

121+48m2

32

，…（10分）
∴

121+48m2

32

=9，
∴48m²=-40，不成立．
故不存在直线l使得S₂=3S₁…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．