题目内容
如图所示，已知双曲线| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）当a=2，b=
| 3 |
（2）在x轴上是否存在这样一个定点M（λ，0），过M的直线与双曲线有两个交点C、D，并且无论怎么旋转直线CD（在保证直线和双曲线有两个交点的前提下），始终CA⊥AD．如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由题设条件推导出双曲线方程为
-
=1，联立
，得：x2-32x+76=0，利用椭圆弦长公式能求出线段CD的长度．
（2）假设存在定点M（λ，0），过M的直线与双曲线有两个交点C、D，并且无论怎么旋转直线CD，始终CA⊥AD，设直线CD的方程为y=k（x-λ），设C（x3，y3），D（x4，y4），由A（2，0），分别求出CA和AD的斜率，由CA⊥AD，得到CA与AD两直线的斜斜率的乘积为-1，由此得到一个表达式，再把点C和D的坐标分别代入直线CD的方程得到另一个表达式，比较两个表达式能求出结果．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
|
（2）假设存在定点M（λ，0），过M的直线与双曲线有两个交点C、D，并且无论怎么旋转直线CD，始终CA⊥AD，设直线CD的方程为y=k（x-λ），设C（x3，y3），D（x4，y4），由A（2，0），分别求出CA和AD的斜率，由CA⊥AD，得到CA与AD两直线的斜斜率的乘积为-1，由此得到一个表达式，再把点C和D的坐标分别代入直线CD的方程得到另一个表达式，比较两个表达式能求出结果．
解答：
解：（1）∵双曲线
-
=1，a=2，b=
，
∴双曲线方程为
-
=1，
联立
，消去y，并整理，得：x2-32x+76=0，
设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=32，x1x2=76，
∴|CD|=
=12
．
∴线段CD的长度为12
．
（2）假设存在定点M（λ，0），过M的直线与双曲线有两个交点C、D，
并且无论怎么旋转直线CD，始终CA⊥AD，
设直线CD的方程为y=k（x-λ），
设C（x3，y3），D（x4，y4），
∵A（2，0），∴kCA=
，kAD=
，
∵CA⊥AD，∴kCA•kAD=
•
=-1，
整理，得y3y4=-x3x4+2（x3+x4）-4，①
∵y=k（x-λ），
∴y3y4=[k（x3-λ）][k（x4-λ）]
=k2x3x4-k2λ（x3+x4）+k2λ2，②
由①②，得k2=-1，λ=2，不成立，
∴不存在这样的定点M（λ，0）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
∴双曲线方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
联立
|
设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=32，x1x2=76，
∴|CD|=
| (1+1)(322-4×76) |
| 10 |
∴线段CD的长度为12
| 10 |
（2）假设存在定点M（λ，0），过M的直线与双曲线有两个交点C、D，
并且无论怎么旋转直线CD，始终CA⊥AD，
设直线CD的方程为y=k（x-λ），
设C（x3，y3），D（x4，y4），
∵A（2，0），∴kCA=
| y3 |
| x3-2 |
| y4 |
| x4-2 |
∵CA⊥AD，∴kCA•kAD=
| y3 |
| x3-2 |
| y4 |
| x4-2 |
整理，得y3y4=-x3x4+2（x3+x4）-4，①
∵y=k（x-λ），
∴y3y4=[k（x3-λ）][k（x4-λ）]
=k2x3x4-k2λ（x3+x4）+k2λ2，②
由①②，得k2=-1，λ=2，不成立，
∴不存在这样的定点M（λ，0）．
点评：本题考查弦长的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要注意椭圆弦长公式的合理运用，注意反证法的合理运用．
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