Question

已知函数f（x）=x²-4ax+2a+12的值域为集合M，集合N={y|y=

x

}，M∩N=M．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求关于x的方程

x

a+2

=|a-1|+2的根的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的零点与方程根的关系

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）先求出集合N，根据M是N的子集求出a的取值范围．
（2）在第（1）的基础上对a进行分类讨论，利用配方法求出x的取值范围．

解答： 解：（1）∵y=

x

≥0，∴N∈[0，+∞），
又∵M∩N=M，∴M⊆N，即M⊆[0，+∞），
∴f（x）=x²-4ax+2a+12中的△=16a²-4（2a+12）≤0解得-

3

2

≤a≤2，
所以后a的取值范围是[-

3

2

，2]．
（2）当a∈[-

3

2

，1]时，

x

a+2

=-(a-1)+2，x=-(a-

1

2

)2+

25

4

，∴x∈[

9

4

，

25

4

]，
当a∈（1，2]时，

x

a+2

=(a-1)+2，x=(a+

3

2

)2-

1

4

，∴x∈（6，12]，
所以x的取值范围是[

9

4

，12]．

点评：一、是对二次函数解析的式中参数的讨论，二、是去绝对值时要对未知参数进行讨论．分类讨论是高中数学的一个重点，也是一个难点．