Question

设函数f（x）=ae^x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x²+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．
（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）判断函数F（x）=2f（x）-g（x）+2零点个数．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）F（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，求导，确定F（x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上单调递增，在（-2，-ln2）上单调递减，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ） f'（x）=ae^x（x+2），g'（x）=2x+b----------------------（1分）
由题意，两函数在x=0处有相同的切线．
∴f'（0）=2a，g'（0）=b，
∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，
∴a=2，b=4，
∴f（x）=2e^x（x+1），g（x）=x²+4x+2．----------------------（3分）
（Ⅱ）f'（x）=2e^x（x+2），由f'（x）＞0得x＞-2，由f'（x）＜0得x＜-2，
∴f（x）在（-2，+∞）单调递增，在（-∞，-2）单调递减．----------------------（4分）
∵t＞-3，∴t+1＞-2
①当-3＜t＜-2时，f（x）在[t，-2]单调递减，[-2，t+1]单调递增，
∴f(x)min=f(-2)=-2e-2．----------------------（5分）
②当t≥-2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，∴f(x)min=f(t)=2et(t+1)；
∴f(x)=

-2e-2_

&2et(t+1)  (t≥-2)----------------------（6分）
（Ⅲ）由题意F（x）=4e^x（x+1）-x²-4x
求导得F'（x）=4e^x（x+1）+4e^x-2x-4=2（x+2）（2e^x-1），----------------------（8分）
由F'（x）＞0得x＞-ln2或x＜-2，由F'（x）＜0得-2＜x＜-ln2
∴F（x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上单调递增，在（-2，-ln2）上单调递减----------（10分）
∴F(x)极小值=F(-ln2)=2+2ln2-(ln2)2=2+ln2(2-ln2)＞0----------------------（11分）
∵F（-4）=4e^-4×（-4+1）-16+16=-12e^-4＜0----------------------（12分）
故函数F（x）=2f（x）-g（x）+2只有一个零点．----------------------（13分）

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．