题目内容
已知椭圆
+
=1的右焦点为F1（3，0），设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点，M、N分别为线段AF1，BF1的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，请运用椭圆的几何性质证明线段|AB|的长是定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由椭圆的对称性知|OA|=|OB|，由已知条件推导出OM⊥ON，四边形ONF1M是平行四边形，由此能证明线段|AB|的长是定值．
解答：
证明：∵椭圆
+
=1=1的右焦点为F1（3，0），
直线y=kx与椭圆相交于A、B两点，
∴由椭圆的对称性知|OA|=|OB|，
∵M、N分别为线段AF1，BF1的中点，
坐标原点O在以MN为直径的圆上，
∴OM⊥ON，OM∥NF1，ON∥MF1，
∴四边形ONF1M是平行四边形，
∴∠NF1M=90°，即∠AF1B=90°，
∴|AB|=2|OF1|=2×3=6，
∴线段|AB|的长是定值6．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
直线y=kx与椭圆相交于A、B两点，
∴由椭圆的对称性知|OA|=|OB|，
∵M、N分别为线段AF1，BF1的中点，
坐标原点O在以MN为直径的圆上，
∴OM⊥ON，OM∥NF1，ON∥MF1，
∴四边形ONF1M是平行四边形，
∴∠NF1M=90°，即∠AF1B=90°，
∴|AB|=2|OF1|=2×3=6，
∴线段|AB|的长是定值6．
点评：本题考查线段长为定值的证明，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
“实数a=1”是“复数（1+ai）i（a∈R，i为虚数单位）的模为
”的（ ）
| 2 |
| A、充分非必要条件 |
| B、必要非充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不是充分条件又不是必要条件 |