求下列函数的值域：
（1）y=

1-2x

1+3x

；
（2）y=

1-2 x

1+3 x

．

求函数f（x）=

x+4 -3

x-5

的值域．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其短轴长为2，长半轴长a=

∫

3 0

1dx，直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M，N各点均不重合且满足

PM

=λ₁

MQ

，

PN

=λ₂

NQ

．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求证：λ₁+λ₂=-3是直线l过定点（1，0）的充分条件．

已知直线l：y=2x与抛物线C：y=

1

4

x2交于A（x_A，y_A）、O（0，0）两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点B（x_B，y_B）．如图所示．
（1）求抛物线C的焦点坐标；
（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；
（3）过抛物线y=

1

4

x2的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．

已知函数f（x）=x²-x+a+1
（1）若f（x）≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
（2）若f（x）在区间[a，a+1]是单调函数，求a的范围．

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且两条曲线都经过点M（2，4）．
（1）求这两条曲线的标准方程；
（2）已知点P在抛物线上，且它与双曲线的左，右焦点构成的三角形的面积为4，求点P的坐标．

在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C的坐标为B（-2，0），C（2，0），直线AB，AC的斜率乘积为-

1

4

，设顶点A的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设曲线E与y轴负半轴的交点为D，过点D作两条互相垂直的直线l₁，l₂，这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M，N．设l₁的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，试求

S

|k|

的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，右焦点为F，右顶点A在圆F：（x-1）²+y²=γ²（γ＞0）上．
（Ⅰ）求椭圆C和圆F的方程；
（Ⅱ）已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B，与圆F交于另一点P．请判断是否存在斜率不为0的直线l，使点P恰好为线段AB的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中；随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位mm），将所得数据分组，得到如下频率分布表：

分组	频数	频率
[-3，-2）	5	0.10
[-2，-1）	8	0.16
（1，2]	25	0.50
（2，3]	10	0.20
（3，4]	2	0.04
合计	50	1.00

（Ⅰ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从差的绝对值在[-2，-1）和（3，4]的产品中抽取5个，求其中差的绝对值在[-2，-1）中的产品的个数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的5个产品中任取2个，差的绝对值在[-2，-1）和（3，4]中各有1个的概率．

已知等差数列{a_n}的公差为2，其前n项和为S_n=pn²+2n，n∈N^*．
（1）求p值及a_n；
（2）在等比数列{b_n}中，b₃=a₁，b₄=a₂+4，若等比数列{b_n}的前n项和为T_n．求证：数列{T_n+

1

6

}为等比数列．