Question

若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中；随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位mm），将所得数据分组，得到如下频率分布表：

分组	频数	频率
[-3，-2）	5	0.10
[-2，-1）	8	0.16
（1，2]	25	0.50
（2，3]	10	0.20
（3，4]	2	0.04
合计	50	1.00

（Ⅰ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从差的绝对值在[-2，-1）和（3，4]的产品中抽取5个，求其中差的绝对值在[-2，-1）中的产品的个数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的5个产品中任取2个，差的绝对值在[-2，-1）和（3，4]中各有1个的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,频率分布表

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）依题意有

50

5000

=

20

x+20

，解出即这批产品中的合格品的件数；
（Ⅱ）依题意知

8

8+2

=

x

5

，解出即所抽产品中差的绝对值在[-2，-1）中的产品的件数；
（Ⅲ）本问为古典概型的问题，需列出基本事件空间，以及事件A包含的基本事件的个数，再利用公式即可得到概率．

解答： 解：（Ⅰ）设这批产品中的合格品数为x件，依题意有

50

5000

=

20

x+20

，
解得x=

5000×20

50

-20=1980，即这批产品中的合格品的件数估计是1980件；
（Ⅱ）设所抽产品中差的绝对值在[-2，-1）中的产品有x件，
依题意知

8

8+2

=

x

5

，解得x=4，
即所抽产品中差的绝对值在[-2，-1）中的产品有4件；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所抽5件产品在[-2，-1）中有4个，在（3，4]中有1个，分别设为a₁，a₂，a₃，a₄，b，
在5个产品中任取2个的情况为：{a₁，a₂}；{a₁，a₃}；{a₁，a₄}；{a₁，b}；
{a₂，a₃}；{a₂，a₄}；{a₂，b}；{a₃，a₄}；{a₃，b}；{a₄，b}，共10种，
在[-2，-1）和（3，4]中各有1个的情况为{a₁，b}；{a₂，b}；{a₃，b}；{a₄，b}，共4种
故所求的概率为p=

4

10

=0.4．

点评：本题考查统计与概率知识，考查学生的计算能力和分析问题以及解决问题的能力．属于中档题．