Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且两条曲线都经过点M（2，4）．
（1）求这两条曲线的标准方程；
（2）已知点P在抛物线上，且它与双曲线的左，右焦点构成的三角形的面积为4，求点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线y²=2px（p＞0）经过点M（2，4），可得抛物线方程，利用双曲线的定义或待定系数法，可求双曲线的标准方程；
（2）设点P的坐标为（x_p，y_p），由题意得，S△PF1F2=

1

2

F 1F2•|yP|=2•|yP|=4，即可求点P的坐标．

解答： 解：（1）∵抛物线y²=2px（p＞0）经过点M（2，4），
∴4²=2p×2，解得p=4，
∴抛物线的标准方程为y²=8x．…（3分）
∴抛物线的焦点为（2，0），
∴双曲线的焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
法一：∴MF1=

(2+2)2+42

=4

2

，MF2=

(2-2)2+42

=4，
∴2a=|MF1-MF2|=4

2

-4，a=2

2

-2，a2=12-8

2

．     …（5分）
∴b2=c2-a2=4-(12-8

2

)=8

2

-8．
∴双曲线的标准方程为

x2

12-8 2

-

y2

8 2 -8

=1．…（8分）
法二：a²+b²=c²=4，∵双曲线经过点M（2，4），∴

4

a2

-

16

b2

=1，…（5分）
解得  a2=12-8

2

，b2=8

2

-8．
∴双曲线的标准方程为

x2

12-8 2

-

y2

8 2 -8

=1．…（8分）
（2）设点P的坐标为（x_p，y_p），
由题意得，S△PF1F2=

1

2

F 1F2•|yP|=2•|yP|=4，
∴y_P=±2，…（11分）
∵点P在抛物线上，∴xP=

1

2

，
∴点P的坐标为(

1

2

，2)或(

1

2

，-2)．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程，双曲线方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．