Question

已知函数f（x）=x²-x+a+1
（1）若f（x）≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
（2）若f（x）在区间[a，a+1]是单调函数，求a的范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）若f（x）≥0对一切实数x恒成立，则△=1-4（a+1）≤0，解得实数a的取值范围．
（2）分析函数f（x）的单调性，结合f（x）在区间[a，a+1]是单调函数，构造关于a的不等式，解不等式，可得答案．

解答： 解：（1）由f（x）≥0对x∈R恒成立，即x²-x+a+1≥0恒成立
∴△=1-4(a+1)≤0⇒a≥-

3

4

∴实数a的取值范围为[-

3

4

， +∞)…（5分）
（2）∵函数f（x）=x²-x+a+1的图象是开口朝上，且以直线x=

1

2

为对称轴的抛物线
又∵f（x）在区间[a，a+1]是单调函数，
∴a≥

1

2

或a+1≤

1

2

即a≥

1

2

或a≤-

1

2

故实数a的取值范围为：（-∞，-

1

2

]∪[

1

2

，+∞）

点评：本题考查的知识点是恒成立问题，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．