题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0），其短轴长为2，长半轴长a=
1dx，直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M，N各点均不重合且满足
=λ1
，
=λ2
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求证：λ1+λ2=-3是直线l过定点（1，0）的充分条件．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ∫ |
0 |
| PM |
| MQ |
| PN |
| NQ |
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求证：λ1+λ2=-3是直线l过定点（1，0）的充分条件．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）由椭圆
+
=1（a＞b＞0），其短轴长为2，推导出b=1，由长半轴长a=
1dx，求出z，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设l方程为x=t（y-m），由已知条件推导出λ1=
-1，λ2=
-1，由λ1+λ2=-3，可得y1y2+m（y1+y2）=0，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，由此能证明直线l过定点并能求出此定点．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ∫ |
0 |
（Ⅱ）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设l方程为x=t（y-m），由已知条件推导出λ1=
| m |
| y1 |
| m |
| y2 |
解答：
（Ⅰ）解：∵椭圆
+
=1（a＞b＞0），其短轴长为2，
∴b=1，
∵长半轴长a=
1dx，
∴a=x
=3
∴椭圆的方程为
+y2=1；
（Ⅱ）证明：由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），
设l方程为x=t（y-m），
由
=λ1
，知（x1，y1-m）=λ1（x0-x1，-y1）
∴y1-m=-y1λ1，由题意λ1≠0，∴λ1=
-1，
同理由
=λ2
知，λ2=
-1，
∵λ1+λ2=-3，∴y1y2+m（y1+y2）=0（*），（8分）
联立
，得（t2+3）y2-2mt2y+t2m2-3=0，
∴需△=4m2t4-4（t2+3）（t2m2-3）＞0（**）
且有y1+y2=
，y1y2=
（***），（10分）
（***）代入（*）得t2m2-3+m•2mt2=0，∴（mt）2=1，
由题意mt＜0，∴mt=-1（满足（**）），（12分）
得l方程为x=ty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点．
∴λ1+λ2=-3是直线l过定点（1，0）的充分条件．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴b=1，
∵长半轴长a=
| ∫ |
0 |
∴a=x
| | |
0 |
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 3 |
（Ⅱ）证明：由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），
设l方程为x=t（y-m），
由
| PM |
| MQ |
∴y1-m=-y1λ1，由题意λ1≠0，∴λ1=
| m |
| y1 |
同理由
| PN |
| NQ |
| m |
| y2 |
∵λ1+λ2=-3，∴y1y2+m（y1+y2）=0（*），（8分）
联立
|
∴需△=4m2t4-4（t2+3）（t2m2-3）＞0（**）
且有y1+y2=
| 2m2 |
| t2+3 |
| t2m2-3 |
| t2+3 |
（***）代入（*）得t2m2-3+m•2mt2=0，∴（mt）2=1，
由题意mt＜0，∴mt=-1（满足（**）），（12分）
得l方程为x=ty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点．
∴λ1+λ2=-3是直线l过定点（1，0）的充分条件．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意向量知识和等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
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若α∈（
，π），且3cos2α=sin（
-α），则sin2α的值为（ ）
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
A、
| ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、-
|