Question

在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C的坐标为B（-2，0），C（2，0），直线AB，AC的斜率乘积为-

1

4

，设顶点A的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设曲线E与y轴负半轴的交点为D，过点D作两条互相垂直的直线l₁，l₂，这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M，N．设l₁的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，试求

S

|k|

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设顶点A的坐标为（x，y），由k_AB•k_AC=-

1

4

，能求出曲线E的方程．
（2）曲线E与y轴负半轴的交点为D（0，-1）．设l₁的方程为y=kx-1，由已知条件推导出△DMN的面积S=

32(1+k2)|k|

(1+4k2)(4+k2)

．从而得到

S

|k|

=

32(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

，由此进行分类讨论，能求出

S

|k|

的取值范围．

解答： 解：（1）设顶点A的坐标为（x，y），则k_AB=

y

x+2

，k_AC=

y

x-2

，…（2分）
∵k_AB•k_AC=-

1

4

，
∴

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

，
∴

x2

4

+y²=1．
∴曲线E的方程为

x2

4

+y²=1（x≠±2）．…（4分）
（2）曲线E与y轴负半轴的交点为D（0，-1）．
∵l₁的斜率存在，∴设l₁的方程为y=kx-1，
代入

x2

4

+y²=1，得M（

8k

1+4k2

，

4k2-1

1+4k2

），
从而DM=

( 8k 1+4k2 )2+( 4k2-1 1+4k2 +1)2

=

8|k| 1+k2

1+4k2

，…（6分）
用-

1

k

代k得DN=

8 1+k2

4+k2

．
∴△DMN的面积S=

1

2

•

8|k| 1+k2

1+4k2

•

8 1+k2

4+k2

=

32(1+k2)|k|

(1+4k2)(4+k2)

．                …（8分）
则

S

|k|

=

32(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

，
∵k≠0且k≠±

1

2

，k≠±2，令1+k²=t，
则t＞1，且t≠

5

4

，t≠5，
从而

S

|k|

=

32t

(4t-3)(t+3)

=

32t

4t2+9t-9

=

32

9+4t- 9 t

，
∵4t-

9

t

＞-5，且4t-

9

t

≠-

11

5

，4t-

9

t

≠

91

5

．
∴9+4t-

9

t

＞4，且9+4t-

9

t

≠

34

5

，9+4t-

9

t

≠

136

5

，
从而 

S

|k|

＜8，且

S

|k|

≠

80

17

，

S

|k|

≠

20

17

，
即 

S

|k|

∈（0，

20

17

）∪（

20

17

，

80

17

）∪（

80

17

，8）． …（10分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查比值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意直线斜率、三角形面积、分类讨论思想的合理运用．