设函数f（x）=alnx-bx²，其图象在点P（2，f（2））处切线的斜率为-3．
（1）求函数f（x）的单调区间（用只含有b的式子表示）；
（2）当a=2时，令g（x）=f（x）-kx，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）=0的两个根，x₀是x₁，x₂的等差中项，求证：g′（x₀）＜0（g′（x）为函数g（x）的导函数）．

已知向量

a

=(sin

ωx

2

，

1

2

)，

b

=(cos

ωx

2

，-

3

2

)，ω＞0，x≥0，函数f(x)=

a

•

b

的第n（n∈N^*）个零点记作x_n（从小到大依次计数），所有x_n组成数列{x_n}．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若ω=2，求数列{x_n}的前100项和S₁₀₀．

如图，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，过左焦点F（-

3

，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky=0交椭圆E于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求证：点M在直线l上；
（Ⅲ）是否存在实数k，使得四边形AOBC为平行四边形？若存在求出k的值，若不存在说明理由．

双曲线C的中心在原点，右焦点为F(

2 3

3

，0)，渐近线方程为y=±

3

x．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，若满足

OA

•

OB

=0（O为坐标原点），求k的值．

已知函数f（x）=-x²+2ax+3-

3

a-a²（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（-∞，2）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）记函数y=f（x）图象的顶点为P，A（0，2），O（0，0），当∠APO最大时，求实数a的值．

已知m为实数，f（x）=2x²-2mx+m-1（0≤m≤2）的最小值记为g（m），试求g（m）的最大值．

如图，

OA

，

OB

为平面的一组基向量，

OC

=3

OA

，

OD

=

3

2

OB

，AD与BC交与点P．
（1）求

OP

关于

OA

，

OB

的分解式；
（2）设∠BOA=60°，|

OA

|=|

OB

|=7，求|

OP

|；
（3）过P任作直线l交直线OA，OB于M，N两点，设

OM

=m

OA

，

ON

=n

OB

，（m，n≠0）求m，n的关系式．

“m＞n＞1”是“log_m2＜log_n2”的（　　）

如图可能是下列哪个函数的图象（　　）

设点P（x，y），其中x，y∈N，则满足x+y≤3的点P的个数为（　　）