Question

如图，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，过左焦点F（-

3

，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky=0交椭圆E于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求证：点M在直线l上；
（Ⅲ）是否存在实数k，使得四边形AOBC为平行四边形？若存在求出k的值，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率结合焦点坐标求得a，b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线AB的方程，和椭圆方程联立后由根与系数的关系求得A，B两点的横坐标的和与积，由中点坐标公式得到M的横坐标，代入直线方程求得M的纵坐标，然后代入直线l的方程验证得答案；
（Ⅲ）假设存在这样的平行四边形，则M为OC中点，联立直线l的方程和椭圆方程求得C的坐标，由中点坐标公式得到M的坐标，由坐标相等求得k的值．

解答： （Ⅰ）解：由题意可知e=

c

a

=

3

2

，c=

3

，于是a=2，
∴b2=a2-c2=22-(

3

)2=1．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₁），M（x₀，y₀），
由

y=k(x+ 3 ) x2 4 +y2=1

，即(4k2+1)x2+8

3

k2x+12k2-4=0．
x1+x2=

-8 3 k2

4k2+1

，x0=

x1+x2

2

=

-4 3 k2

4k2+1

，y0=k(x0+

3

)=

3 k

4k2+1

，
于是M(

-4 3 k2

4k2+1

，

3 k

4k2+1

)．
∵

-4 3 k2

4k2+1

+4k•

3 k

4k2+1

=0，
∴M在直线l上；
（Ⅲ）设存在这样的平行四边形，则M为OC中点，
设点C的坐标为（x₃，y₃），则y0=

y3

2

．
∵

x=-4ky x2 4 +y2=1

，解得y3=±

1

4k2+1

．
于是

1

2 4k2+1

=

3 |k|

4k2+1

，解得k2=

1

8

，即k=±

2

4

．
∴当k=±

2

4

时四边形AOBC的对角线互相平分，即当k=±

2

4

时四边形AOBC是平行四边形．

点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是高考试卷中的压轴题．