Question

设函数f（x）=alnx-bx²，其图象在点P（2，f（2））处切线的斜率为-3．
（1）求函数f（x）的单调区间（用只含有b的式子表示）；
（2）当a=2时，令g（x）=f（x）-kx，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）=0的两个根，x₀是x₁，x₂的等差中项，求证：g′（x₀）＜0（g′（x）为函数g（x）的导函数）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由函数图象在在点P（2，f（2））处切线的斜率为-3得到a与b的关系，用b表示a，代入导函数解析式，然后分b=0，b＜0，b＞0分类求解函数的单调区间；
（2）由a的值求解b的值，得到函数g（x）的解析式，把函数的两个零点代入函数所对应的方程，求解得到k的值，求出g′（x₀），借助于等差中项的概念把x₀用x₁，x₂表示，换元后进一步利用导数研究函数的单调性，由单调性说明g′（x₀）＜0成立．

解答： （1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′(x)=

a

x

-2bx，则f′(2)=

a

2

-4b=-3，即a=8b-6．
于是f′(x)=

-2bx2+(8b-6)

x

．
①当b=0时，f′(x)=

-6

x

＜0，f（x）在（0，+∞）上是单调减函数；
②当b＜0时，令f'（x）=0，得x=

4b-3 b

（负舍），
∴f（x）在(0 ，  

4b-3 b

)上是单调减函数，在(

4b-3 b

 ，  +∞)上是单调增函数；
③当b＞0时，若0＜b≤

3

4

，则f'（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调减函数；
若b＞

3

4

，令f'（x）=0，得x=

4b-3 b

（负舍），
∴f（x）在(0 ，  

4b-3 b

)上单调增函数，在(

4b-3 b

 ，  +∞)上单调减函数；
综上，若b＜0，f（x）的单调减区间为(0 ，  

4b-3 b

)，单调增区间为(

4b-3 b

 ，  +∞)；
若0≤b≤

3

4

，f（x）的单调减区间为（0，+∞）；
若b＞

3

4

，f（x）的单调增区间为(0 ，  

4b-3 b

)，单调减区间为(

4b-3 b

 ，  +∞)．
（2）证明：∵a=2，a=8b-6，
∴b=1，即g（x）=2lnx-x²-kx．
∵g（x）的两零点为x₁，x₂，则

2lnx1-x12-kx1=0  2lnx2-x22-kx2=0

，
相减得：2(lnx1-lnx2)-(x12-x22)-k(x1-x2)=0，
∵x₁≠x₂，
∴k=

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

-(x1+x2)，
于是g′(x0)=

2

x0

-2x0-k=

4

x1+x2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

=

2

x1-x2

[

2(x1-x2)

x1+x2

-(lnx1-lnx2)]=

2

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

]．
令t=

x1

x2

，t∈(0，  1)，φ(t)=

2(t-1)

t+1

-lnt=2-

4

t+1

-lnt，
则φ′(t)=

4

(t+1)2

-

1

t

=

-(t-1)2

t(t+1)2

＜0，则φ（t）在（0，1）上单调递减，
则φ（t）＞φ（1）=0，
又

2

x1-x2

＜0，则g'（x₀）＜0．命题得证．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法，训练了换元法，是难度较大的题目．