Question

双曲线C的中心在原点，右焦点为F(

2 3

3

，0)，渐近线方程为y=±

3

x．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，若满足

OA

•

OB

=0（O为坐标原点），求k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，根据右焦点为F(

2 3

3

，0)，渐近线方程为y=±

3

x，建立方程组，解出即可；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+1 3x2-y2=1

，消去y可化为关于x的一元二次方程，可得△＞0及其根与系数的关系；由

OA

•

OB

=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，代入解出即可．

解答： 解：（1）由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，
∵右焦点为F(

2 3

3

，0)，渐近线方程为y=±

3

x，
∴

c= 2 3 3 b a = 3 c2=a2+b2

，
∴a=

3

3

，b=1，
∴双曲线C的方程为3x²-y²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+1 3x2-y2=1

，化为（3-k²）x²-2kx-2=0，（3-k²≠0）．
∵直线y=kx+1与双曲线C相交于A，B两点，∴△=4k²+8（3-k²）＞0，化为k²＜6．
∴x₁+x₂=

2k

3-k2

，x₁x₂=-

2

3-k2

．（*）
∵

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，又y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
∴（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
把（*）代入上式得

-2(1+k2)

3-k2

+

2k2

3-k2

+1=0，
化为k²=1．满足△＞0．
∴ak±1．

点评：本题中考查了双曲线的标准方程及其性质、考查直线与双曲线相交问题等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力．