Question

已知函数f（x）=-x²+2ax+3-

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a-a²（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（-∞，2）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）记函数y=f（x）图象的顶点为P，A（0，2），O（0，0），当∠APO最大时，求实数a的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,直线与圆

分析：（Ⅰ）由抛物线f（x）=-x²+2ax+3-

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a-a²开口向下，对称轴方程是x=a，在区间（-∞，2）上为增函数，能求出实数a的取值范围．
（Ⅱ）求出抛物线顶点坐标的轨迹，并分析其轨迹与以A，O为直径圆的位置关系，可分析出当∠APO最大时，顶点P的位置，进而得到P点坐标，求出实数a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线f（x）=-x²+2ax+3-

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a-a²开口向下，
对称轴方程是x=a，
在区间（-∞，2）上为减函数，
∴a≥2，
故实数a的取值范围为：[2，+∞）．
（Ⅱ）∵函数y=f（x）图象的顶点为P坐标为（a，3-

3

a）
则P点为直线y=-

3

x+3上的动点
又∵A（0，2），O（0，0），
故以AO为直径的圆C，圆心为（0，1），半径为1
点C到直线y=-

3

x+3的距离d=1，
即直线y=-

3

x+3与圆C相切
故P为切点时，∠APO最大
由

x2+(y-1)2=1 y=- 3 x+3

得

x= 3 2 y= 3 2

故a=

3

2

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．