在平面直角坐标系中，已知

a

=(2mx，y-1)，

b

=(2x，y+1)，其中m∈R，

a

⊥

b

，动点M（x，y）的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程，并说明该轨迹方程所表示曲线的形状；
（2）当m=

1

8

时，设过定点P（0，2）的直线l与轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

设a∈R，f(x)=

x

|x-a|
（1）若函数f（x）在[0，+∞）为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）设a＞0，
（i）证明：函数F(x)=f(x)-

1

2

x有3个零点；
（ii）若存在实数t（t＞a），当x∈[0，t]时函数f（x）的值域为[0，

t

2

]，求实数a的取值范围．

判断并证明：函数f（x）=

2x+3

x+1

在（-1，﹢∞）上的单调性．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2，一条准线方程为x=2．P为椭圆C上一点，直线PF₁交椭圆C于另一点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为（0，b），求过P，Q，F₂三点的圆的方程；
（3）若

F1P

=λ

QF1

，且λ∈[

1

2

，2]，求

OP

•

OQ

的最大值．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右两焦点分别为F₁，F₂，p是椭圆上一点，且在x轴上方，PF₂⊥F₁F₂，PF₂=λPF₁，λ∈[

1

3

，

1

2

]．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）当e取最大值时，过F₁，F₂，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线l上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N．试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

已知双曲线的方程为5x²-4y²=20两个焦点为F₁，F₂．
（1）求此双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
（2）若椭圆与此双曲线有共同的焦点，且有一公共点P满足|PF₁|•|PF₂|=6，求椭圆的方程．

如图，设抛物线C1：y2=4mx(m＞0)的准线与x轴交于F₁，且C₁的焦 点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率e=

1

2

的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的一个交点为P．
（Ⅰ）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）若m=1，直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，且与抛物线C₁交于A₁，A₂，以线段A₁A₂为直径作圆，若圆经过点P，求直线l的斜率．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，若△OAB的面积为

3

（其中点O是椭圆的中心），椭圆的离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）请问：是否存在过点P(0，2

3

)的直线l与椭圆相交于M，N两点，使得点N恰好是线段PM的中点，若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

已知数列{a_n}的首项a₁=1，?n∈N^*，a_n+1=

2an

2+an

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：?n∈N^*，

n

i=1

ai2＜3．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线x-

3

y+

3

=0经过椭圆C的上顶点B和左焦点F，设椭圆右焦点为F′．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上动点，求|4-（|PF′|+|PB|）|的取值范围，并求取最小值时点P的坐标．