Question

如图，设抛物线C1：y2=4mx(m＞0)的准线与x轴交于F₁，且C₁的焦 点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率e=

1

2

的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的一个交点为P．
（Ⅰ）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）若m=1，直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，且与抛物线C₁交于A₁，A₂，以线段A₁A₂为直径作圆，若圆经过点P，求直线l的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）假设存在实数m，在△PF₁F₂中，|PF₁|最长，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，则|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1，把P（m-1，4m（m-1））代入椭圆方程求出m值．
（Ⅱ）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，代入椭圆方程，可得点P的坐标为P（

2

3

，

2 6

3

），将x=ky+1代入y²=4x得y²-4ky-4=0，由圆经过点P，可得

PA1

•

PA2

=0，即可求出直线l的斜率．

解答： 解：（Ⅰ）∵C₁：y²=4mx（m＞0）的右焦点F₂（m，0）
∴椭圆的半焦距c=m，
又e=

1

2

，
∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=

3

m，
∴椭圆方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1．
假设存在实数m，△PF₁F₂中的边长是连续自然数，则在△PF₁F₂中，|PF₁|最长，|PF₂|最短，
令|F₁F₂|=2c=2m，则|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1．
由抛物线的定义可得|PF₂|=2m-1=x_P-（-m），∴x_P=m-1．
把P（m-1，4m（m-1））代入椭圆

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，解得m=3．
故存在实数m=3满足条件．
（Ⅱ）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R
代入椭圆方程，可得点P的坐标为P（

2

3

，

2 6

3

）．
将x=ky+1代入y²=4x得y²-4ky-4=0．
设A₁（x₁，y₁）、A₂（x₂，y₂），由韦达定理得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4．
∵圆经过点P，
∴

PA1

•

PA2

=0，
∴（x₁-

2

3

，y₁-

2 6

3

）•（x₂-

2

3

，y₂-

2 6

3

）=0，
∴-

24k2+24 6 k+11

9

=0，
∴k=

6

12

或

11 6

12

．

点评：本题考查抛物线和椭圆的标准方程和简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，同时考查向量知识的运用，综合性较强，属于中档题．