Question

判断并证明：函数f（x）=

2x+3

x+1

在（-1，﹢∞）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据分式函数的性质，判断函数的单调性，然后根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答： 解：f（x）=

2x+3

x+1

=

2(x+1)+1

x+1

=2+

1

x+1

，在（-1，﹢∞）上的单调递减．
任意设-1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

x1+1

-

1

x2+1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
则f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即函数f（x）=

2x+3

x+1

在（-1，﹢∞）上的单调递减．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．