Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2，一条准线方程为x=2．P为椭圆C上一点，直线PF₁交椭圆C于另一点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为（0，b），求过P，Q，F₂三点的圆的方程；
（3）若

F1P

=λ

QF1

，且λ∈[

1

2

，2]，求

OP

•

OQ

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的焦距为2，一条准线方程为x=2，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）直线PF₁的方程为x-y+1=0，代入椭圆方程，求出Q的坐标，利用圆的一般方程，建立方程组，即可求过P，Q，F₂三点的圆的方程；
（3）由

F1P

=λ

QF1

，可得P，Q坐标之间的关系，利用向量的数量积公式，结合λ∈[

1

2

，2]，利用基本不等式，即可求

OP

•

OQ

的最大值．

解答： 解：（1）由题意得，

2c=2 a2 c =2

，解得：c=1，a²=2，
∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的方程为：

x2

2

+y2=1；
（2）∵P（0，1），F₁（-1，0），
∴直线PF₁的方程为x-y+1=0．
由

x-y+1=0 x2 2 +y2=1

，解得

x=0 y=1

或

x=- 4 3 y=- 1 3

，
∴点Q的坐标为(-

4

3

，-

1

3

)．
设过P，Q，F₂三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则

1+E+F=0 1+D+F=0 17 9 - 4 3 D- 1 3 E+F=0

，解得

D= 1 3 E= 1 3 F=- 4 3

．
∴所求圆的方程为x2+y2+

1

3

x+

1

3

y-

4

3

=0；
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则

F1P

=(x1+1，y1)，

QF1

=(-1-x2，-y2)，
∵

F1P

=λ

QF1

，
∴

x1+1=λ(-1-x2) y1=-λy2

，即

x1=-1-λ-λx2 y1=-λy2

，
∴

(-1-λ-λx2)2 2 +λ2y22=1 x22 2 +y22=1

，解得：x2=

1-3λ

2λ

．
∴

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=x2(-1-λ-λx2)-λy22
=-

λ

2

x22-(1+λ)x2-λ=-

λ

2

(

1-3λ

2λ

)2-(1+λ)•

1-3λ

2λ

-λ
=

7

4

-

5

8

(λ+

1

λ

)．
∵λ∈[

1

2

，2]，
∴λ+

1

λ

≥2

λ• 1 λ

=2，当且仅当λ=

1

λ

，即λ=1时取等号．
∴

OP

•

OQ

≤

1

2

．
即

OP

•

OQ

的最大值为

1

2

．

点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，考查基本不等式的运用，确定坐标之间的关系是关键．