Question

在平面直角坐标系中，已知

a

=(2mx，y-1)，

b

=(2x，y+1)，其中m∈R，

a

⊥

b

，动点M（x，y）的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程，并说明该轨迹方程所表示曲线的形状；
（2）当m=

1

8

时，设过定点P（0，2）的直线l与轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用

a

⊥

b

，

a

=(2mx，y-1)，

b

=(2x，y+1)，可得

a

•

b

=4mx2+y2-1=0，即4mx²+y²=1，分类讨论，可求轨迹方程所表示曲线的形状；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及∠AOB为锐角，建立不等式，即可求得直线l的斜率k的取值范围．

解答： 解：（1）因为

a

⊥

b

，

a

=(2mx，y-1)，

b

=(2x，y+1)
所以

a

•

b

=4mx2+y2-1=0，即4mx²+y²=1..（2分）
当m=0时，方程表示两直线，方程为y=±1；
当m=

1

4

时，方程表示的是圆
当m＞0且m≠

1

4

时，方程表示的是椭圆；
当m＜0时，方程表示的是双曲线．…..（6分）
（2）当m=

1

8

时，轨迹C的方程为

x2

2

+y2=1，
显然直线l的斜率是存在的，可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），…..（7分）
联立

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，消去y，整理得：（2k²+1）x²+8kx+6=0
∴x1+x2=-

8k

2k2+1

，x1•x2=

6

2k2+1

…..（9分）
由△=（8k）²-4（2k²+1）×6＞0，即2k²-3＞0得：k＜-

6

2

或k＞

6

2

①…..（10分）
又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=

6k2

2k2+1

-

16k2

2k2+1

+4=

4-2k2

2k2+1

…..（11分）
∵∠AOB为锐角，
∴cos∠AOB＞0，
∴

OA

•

OB

＞0，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

6

2k2+1

+

4-2k2

2k2+1

=

10-2k2

2k2+1

＞0
即k²-5＜0，
∴-

5

＜k＜

5

…..（13分）
故由①、②得-

5

＜k＜-

6

2

或

6

2

＜k＜

5

…..（14分）

点评：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力．本题为中档题，需要熟练运用设而不求韦达定理．