Question

设a∈R，f(x)=

x

|x-a|
（1）若函数f（x）在[0，+∞）为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）设a＞0，
（i）证明：函数F(x)=f(x)-

1

2

x有3个零点；
（ii）若存在实数t（t＞a），当x∈[0，t]时函数f（x）的值域为[0，

t

2

]，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：证明题,导数的综合应用

分析：（1）对a讨论，分a≤0，a＞0两种，将绝对值去掉，求导数，从而判断单调性；
（2）令F（x）=0则x=0或|x-a|=

1

2

x

，对后一个两边平方，转化为二次方程，判断它有两个不同的正根即可；
（3）考虑函数y₁=

x

（a-x）（0≤x≤a）的极大值点

a

3

，从而当x∈[0，t]时，f（x）_max=max{f（

a

3

），f（t）}，分别讨论f（x）_max=f（t）和f（x）_max=f（

a

3

），得到不等式组，解出t的范围，从而得出a的取值范围．

解答： 解：（1）显然x≥0，
当a≤0时，f（x）=

x

|x-a|=

x

（x-a），
f'（x）=

3

2

x

1

2

-

1

2

ax-

1

2

≥0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，符合题意．
当a＞0时，f（x）=

x (a-x)，(0≤x≤a) x (x-a)，(x＞a)

，
此时x=a为函数f（x）的极值点，显然不单调．
综上，实数a的取值范围是a≤0；
（2）若a＞0，
（i）即证明方程

x

|x-a|=

1

2

x有三个不同的实根，
可化为x=0或|x-a|=

1

2

x

  ①
①式可化为x²-（2a+

1

4

）x+a²=0，
设g（x）=x²-（2a+

1

4

）x+a²，
又因为g（0）=a²＞0，对称轴x=a+

1

8

＞0，
且△=a+

1

16

＞0，
故g（x）=0有两个不同的正根，
即函数F（（x）=f（x）-

1

2

x有3个零点；
（ii）由（i）知 函数y=f（x）与y=

1

2

x有3个交点，
y₁=

x

（a-x）（0≤x≤a）的一个极大值点为x=

a

3

，
则当x∈[0，t]时，f（x）_max=max{f（

a

3

），f（t）}，
依题意有：（1）当f（x）_max=f（t）时，
则有

f( a 3 )≤ t 2 f(t)= t 2

 即

a 3 2a 3 ≤ t 2 t (t-a)= t 2

，
由第二个式子得，a=t-

t

2

，代入第一式平方得：
16（t-

t

2

）³≤27t²，
即16（

t

-

1

2

）³-27

t

≤0，
得 16（

t

）³-24（

t

）²-15

t

-2=（

t

-2）（4

t

+1）²≤0，
得t≤4，所以a≤3，
又a＞0，综上得：0＜a≤3．
（2）当f（x）_max=f（

a

3

）时，则有

f( a 3 )= t 2 f(t)≤ t 2

  即

a 3 2a 3 = t 2 ① t (t-a)≤ t 2 ②

由①得a³=

27

16

t2，由②得：a≥t-

t

2

，
所以16（t-

t

2

）³≤27t²，同上有0＜a≤3，
综上，符合题意的实数a的取值范围是：0＜a≤3．

点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用：求单调性、求极值、求最值，考查分类讨论的思想方法，含参问题的求法，考查运算和推理能力，是一道很好的综合题．