题目内容
已知椭圆
+
=1(a＞b＞0)与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，若△OAB的面积为
（其中点O是椭圆的中心），椭圆的离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）请问：是否存在过点P(0，2
)的直线l与椭圆相交于M，N两点，使得点N恰好是线段PM的中点，若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）请问：是否存在过点P(0，2
| 3 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件推导出S△OAB=
ab=
，
=
，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=kx+2
，代入椭圆方程(3+4k2)x2+16
kx+36=0，利用根的判别式和韦过定理求出直线l的方程为y=±
x+2
．
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=kx+2
| 3 |
| 3 |
9
| ||
| 10 |
| 3 |
解答：
解：（1）由题S△OAB=
ab=
，
=
又a2=b2+c2…（3分）
解得a=2，b=
，
∴椭圆的标准方程为
+
=1．…（4分）
（Ⅱ）∵点N恰好是线段PM的中点，∴
=2
，椭圆的标准方程为
+
=1，①
（ⅰ）若直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为：y=kx+2
②
联立①②消y得(3+4k2)x2+16
kx+36=0，
△=(16
k)2-4(3+4k2)×36＞0⇒k2＞
，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=-
，③
x1x2=
④…（7分）
又由题可知
=2
，得x1=2x2⑤
③④⑤联立消x1，x2得
=
•
…（9分）
解得k2=
，
此时直线l的方程为y=±
x+2
…（10分）
（ⅱ）若直线l的斜率不存在，
M，N的坐标为(0，±
)，明显不合题意．…（11分）
故所求直线l存在，方程为y=±
x+2
…（12分）
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
又a2=b2+c2…（3分）
解得a=2，b=
| 3 |
∴椭圆的标准方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）∵点N恰好是线段PM的中点，∴
| PM |
| PN |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（ⅰ）若直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为：y=kx+2
| 3 |
联立①②消y得(3+4k2)x2+16
| 3 |
△=(16
| 3 |
| 9 |
| 4 |
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=-
16
| ||
| 3+4k2 |
x1x2=
| 36 |
| 3+4k2 |
又由题可知
| PM |
| PN |
③④⑤联立消x1，x2得
| (3x2)2 |
| 2x22 |
| 64 |
| 3 |
| k2 |
| 3+4k2 |
解得k2=
| 81 |
| 20 |
此时直线l的方程为y=±
9
| ||
| 10 |
| 3 |
（ⅱ）若直线l的斜率不存在，
M，N的坐标为(0，±
| 3 |
故所求直线l存在，方程为y=±
9
| ||
| 10 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
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