等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，连结A₁B、A₁C（如图1）．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BCED：
（Ⅱ）在线段BC上是否存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角的正弦值为

3

2

？若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由．

某超市计划在春节当天从有抽奖资格的顾客中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都成等差数列的为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，6，8为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．
（1）求顾客甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；
（2）若顾客乙幸运地先后获得四次抽奖机会，求他得奖次数η的方差是多少？

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且经过点（1，

2

2

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A的坐标为（2，0），直线l经过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于P，Q两点．求证：∠PAF=∠QAF．

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=

1

2

AB，点E是棱AB上一点．且

AE

EB

=λ．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）若二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

，求λ的值．

已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=4分别交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设直线AS，BS的斜率分别为k₁，k₂，求证k₁•k₂为定值；
（ⅱ）求线段MN的长度的最小值．

如图，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．
（Ⅰ）求证：PC⊥DE；
（Ⅱ）若直线AB与平面ADE所成角的正弦值为

2

3

，求PA的值．

已知函数f（x）=9^x-2•3^x+3k-1（k为常数）
（1）求函数f（x）在（-∞，log₃a]上的最小值（a为常数）；
（2）若方程f（x）=0有两个实数根，求实数k的取值范围．

已知

a

=（3，-cos（ωx）），

b

=（sin（ωx），

3

），其中ω＞0，函数f（x）=

a

•

b

的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且f（

A

2

）=

3

，a=

3

b求角A、B、C的大小．

已知函数f（x）=lnx-ax在点A（1，f（1））处的切线为l．
（1）当切线l的斜率为2时，求实数a的值；
（2）证明：无论a取何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）；
（3）已知点Q（x₀，f（x₀）），且当x₀＞1时，直线QA的斜率恒小于2，试求实数a的取值范围．

在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=12，∠ACB=30°，AB=6，则PB与平面ABC所成角的余弦值为．