Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且经过点（1，

2

2

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A的坐标为（2，0），直线l经过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于P，Q两点．求证：∠PAF=∠QAF．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且经过点（1，

2

2

），建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）分类讨论，斜率不存在时，P，Q关于x轴对称，∠PAF=∠QAF；斜率存在时，设方程为y=k（x-1），直线代入椭圆方程，利用韦达定理，证明k_PA+k_QA=0即可．

解答： （1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且经过点（1，

2

2

）．
∴

a2-b2 a = 2 2 1 a2 + 1 2 b2 =1

，
∴a=

2

，b=1，
∴椭圆C的方程

x2

2

+y2=1；
（2）证明：斜率不存在时，P，Q关于x轴对称，∠PAF=∠QAF；
斜率存在时，设方程为y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直线代入椭圆方程可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
∴k_PA+k_QA=

y1

x1-2

+

y2

x2-2

=2k+

k(x1+x2-4)

x1x2-2(x1+x2)+4

=2k+

k(-4k2-4)

2k2+2

=0，
∴∠PAF=∠QAF，
综上，∠PAF=∠QAF．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．