Question

已知函数f（x）=lnx-ax在点A（1，f（1））处的切线为l．
（1）当切线l的斜率为2时，求实数a的值；
（2）证明：无论a取何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）；
（3）已知点Q（x₀，f（x₀）），且当x₀＞1时，直线QA的斜率恒小于2，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，利用切线l的斜率为2，即可求实数a的值；
（2）求出切线l的方程，构造函数g（x）=lnx-ax-[（1-a）x-1]=lnx-x，求导数，可得任意x＞0且x≠1，g（x）＜0，即可证明无论a取何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）；
（3）当x₀＞1时，直线QA的斜率恒小于2?

lnx0-ax0+a

x0-1

＜2对x₀∈（1，+∞）恒成立，可得lnx₀+（-2-a）（x₀-1）＜0对x₀∈（1，+∞）恒成立，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-ax，
∴f′（x）=

1

x

-a，
∵点A（1，f（1））处的切线l的斜率为2，
∴1-a=2，
∴a=-1；
（2）证明：f（1）=ln1-a=-a，f′（1）=1-a，切线l的方程为y+a=（1-a）（x-1），即y=（1-a）x-1，
构造函数g（x）=lnx-ax-[（1-a）x-1]=lnx-x，则g′（x）=

1

x

-1
解g′（x）=0得x=1．
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增，
同理可知，g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=1处取到极大值，也是最大值为-1
∴任意x＞0且x≠1，g（x）≤-1＜0，
∴f（x）＜（1-a）x-1，
即无论a取何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）；
（3）由A（1，-a）、Q（x₀，lnx₀-ax₀），得k_AQ=

lnx0-ax0+a

x0-1

，
∴当x₀＞1时，直线QA的斜率恒小于2?

lnx0-ax0+a

x0-1

＜2对x₀∈（1，+∞）恒成立．
∴lnx₀+（-2-a）（x₀-1）＜0对x₀∈（1，+∞）恒成立，
令h（x）=lnx+（-2-a）（x-1），（x＞1）．
则h′（x）=

1

x

-2-a，
（ⅰ）当a≤-2时，由x＞1，知h′（x）＞0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（1）=0，不满足题意的要求．
（ⅱ）当-2＜a＜-1时，
∴当x∈（1，

1

2+a

），h′（x）＞0；当x∈（

1

2+a

，+∞），h′（x₀）＜0，
即h（x）在（1，

1

2+a

）上单调递增；在（

1

2+a

，+∞）上单调递减．
所以存在t∈（1，+∞）使得h（t）＞h（1）=0，不满足题意要求．
（ⅲ）当a≥-1时，0＜

1

2+a

≤1，对于x₀＞1，h′（x₀）＜0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，恒有h（x）＜h（1）=0，满足题意要求．
 综上所述：当a≥-1时，直线PQ的斜率恒小于2．

点评：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．