Question

已知函数f（x）=9^x-2•3^x+3k-1（k为常数）
（1）求函数f（x）在（-∞，log₃a]上的最小值（a为常数）；
（2）若方程f（x）=0有两个实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,指数函数的图像与性质

专题：分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）求出函数f（x）的导数f'（x），分别令大于0，小于0，写出f（x）的单调区间，对a讨论，分a=1，a＞1，a＜1三种情况，求出所给区间的最小值；
（2）通过换元转化为二次方程有两个不等的正根，由判别式大于0，根据根与系数的关系，列出不等式组，解出即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=9^x-2•3^x+3k-1的导数f'（x）=9^xln9-2•3^xln3，
令f'（x）＞0则3^xln9•（3^x-1）＞0，即3^x＞1，即x＞0，
令f'（x）＜0则3^xln9•（3^x-1）＜0，即3^x＜1，即x＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上递增，在（-∞，0）上递减．
∴①当a=1时，log₃a=0，f（x）在区间（-∞，0]上有最小值3k-2，
②当a＜1时，log₃a＜0，函数f（x）在（-∞，log₃a]上递减，f（log₃a）最小，且为a²-2a+3k-1，
③当a＞1时，log₃a＞0，函数f（x）在（-∞，log₃a]上的最小值f（0）且为3k-2，
∴当a≥1时，函数f（x）在（-∞，log₃a]上的最小值为3k-2，
当a＜1时，函数f（x）在（-∞，log₃a]上的最小值为a²-2a+3k-1；
（2）令3^x=t（t＞0），则方程f（x）=0即为t²-2t+3k-1=0，
方程f（x）=0有两个实数根等价于方程t²-2t+3k-1=0有两个不等的正根，
∴

4-4(3k-1)＞0 3k-1＞0

即

1

3

＜k＜

2

3

，
∴实数k的取值范围是（

1

3

，

2

3

）．

点评：本题主要考查导数在函数中的应用：求单调区间，求最值，考查函数方程转换思想，以及分类讨论的重要思想方法，解题中应深刻领会．