Question

如图，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．
（Ⅰ）求证：PC⊥DE；
（Ⅱ）若直线AB与平面ADE所成角的正弦值为

2

3

，求PA的值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）先证明BC⊥平面PAB，可得BC⊥AD，证明AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，再证明PC⊥平面ADE，即可证明PC⊥DE；
（Ⅱ）过点B作BE∥AP，则BZ⊥平面ABC，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据PC⊥平面ADE，可得

PC

=(-1，1，-a)是平面ADE的一个法向量，从而向量

PC

与

AB

所成的角的余弦值的绝对值为

2

3

，即可求PA的值．

解答： （Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB，
因为AD?平面PAB，
所以BC⊥AD．…（2分）
又AD⊥PB，BC∩PB=B，
所以AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，…（4分）
又PC⊥AE，AD∩AE=A，
所以PC⊥平面ADE，
因为DE?平面ADE，
所以PC⊥DE…（6分）
（Ⅱ）解：过点B作BE∥AP，则BZ⊥平面ABC，如图所示，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．   …（7分）
设PA=a，则A（2，0，0），C（0，2，0），P（2，0，a），
因为PC⊥平面ADE，所以

PC

=(-1，1，-a)是平面ADE的一个法向量，
所以向量

PC

与

AB

所成的角的余弦值的绝对值为

2

3

，…（9分）
又

AB

=(-2，0，0)
则|cos＜

PC

，

AB

＞|=|

PC • AB

| PC |•| AB |

|=|

(-2，2，-a)•(-2，0，0)

a2+8

|=

2

3

，解得a=1
所以PA=1…（12分）

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．